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问题
现在有一班飞机将要起飞,乘客们正准备按机票号码(1, 2, 3, …N)依次排队登机。突然来了一只大猩猩(对,他叫金刚)。他也有飞机票,但是他插队第一个登上了飞机,然后随意地选了一个座位坐下了。根据社会的和谐程度,其他的乘客有两种反应:
那么,在这两种情况下,第 i 个乘客(除去金刚同志之外)坐到自己原机票位置的概率分别是多少?
解答第一题:因为每位乘客(包括金刚)都是随机的,问题等同于抽奖问题,先到先抽,即第 i 个乘客抽到自己的座位的概率为1/N。
第二题:用 F(i, n) 表示当座位总数为n时,第 i 个乘客坐到自己原位置的概率。根据全概率公式,得
其中 P(K=j) 表示金刚坐在位置 j 上,P(i | K=j) 是条件概率,表示当金刚坐在位置 j 上时,第 i 个乘客坐到自己原位置的概率。显然 P(K=j)=1/n,现在来分析 P(i | K=j)。
由上分析得:
再取 n+1 和 i+1 代入上式并与原式相减得:
代入计算的时候,譬如要求当i=3的做到座位上的概率,则需要取i-1=2代入到上式中
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